질문
Beam Load에 의한 부재력 분포가 정적해석과 시간이력해석이 서로 다른 이유는 무엇인가요?
DL케이스는 길이가 10m인 보에 등분포하중이 작용하는 모델이고, NLST는 DL케이스를 이용하여 Time varying static load로 해석한 결과입니다. 두 해석결과의 변위가 같고, 기둥에서의 부재력은 동일한데 보의 부재력만 달라지는 이유가 무엇인가요?
답변
우선, beam요소에 작용하는 beam load에 대해 이해가 필요 합니다. beam요소에 작용하는 beam load에 대한 휨모멘트 분포를 작성하기 위해서는 양끝점 모멘트 외에도 보요소 내부의 내력 변화를 알 수 있어야 합니다.
그런데, beam 요소는 2절점 요소로 변위와 부재력 모두 양 끝점에서의 결과만 계산됩니다. 그러므로 beam load에 의한 보요소 내부 구간에서의 부재력 분포를 구하기 위해서는 절점에서의 부재력을 계산한 후에 추가적인 어떤 방법이 필요하게 됩니다.
이를 위해 도입되는 방식이 Fixed end force라는 개념입니다. 아래와 같은 분포하중을 받은 캔틸레버 보를 예로 들어보면, 모멘트분포는 아래 bending moment diagram과 같습니다.
우리가 수계산으로는 위와 같이 수식을 이용해서 쉽게 구할 수 있겠지만, 유한요소법이라고 하는 해석법 자체가 모든 입력과 출력은 절점을 통해서만 이루어지기 때문에 분포하중은 아래와 같이 등가의 절점하중으로 치환해서 해석을 하게 됩니다. 그리고 그때의 휨모멘트도는 아래와 같이 표현될 수 있습니다.
자유단에서는 모멘트가 0이 되어야 하는데, 절점하중에 의한 값이 존재하므로 이것을 보정하기 위해서 아래와 같이 양단 고정된 보의 모멘트를 구해서 위의 결과에 더하는 방식을 도입합니다.
즉, 아래와 같이 캔틸레버의 자유단에서 모멘트가 0이 되도록, 위에서 구한 부재력을 더하게 되면, 고정단에서의 모멘트는 이고, 임의의 위치 x에서의 모멘트는
로 계산이 되어 수계산으로 얻은 결과와 동일한 결과를 기대할 수 있습니다.
그리고 Static해석에서는 이러한 부재력 분포를 표현하기 위해 보요소를 4등분하여 I, J절점 외에도 내부의 3개(1/4, 2/4, 3/4)의 지점에서의 부재력을 M(x)에 대해서 추가적으로 계산을 하여 테이블과 그래픽 결과에 활용하고 있습니다.
앞의 예제 모델에서는 beam load가 작용하는 보가 양쪽 기둥에 강접으로 지지되고 있으며, 양 단부 기둥강성이 포함된 휨 강성()에 의하여 구속되어 있으므로 양단 구속과 양단 단순지지의 사이의 구속효과 정도로 생각할 수 있습니다.
여기서, ,
보 요소의 절점 부재력은 강성행렬과 변위벡터를 곱함으로써 구할 수 있습니다. 그런데, 내부의 3개 지점에서의 부재력을 구하기 위해서는 위의 개념도와 같이 단순보의 휨모멘트 분포형태가 단부모멘트만큼 평행이동한 것으로 생각할 수 있습니다. 따라서 중앙부에서의 모멘트는 단순보에서 작용하는 등분포하중의 최대 모멘트()가 단부 모멘트만큼 평행이동한 것으로 산정하게 됩니다.
이런 방식으로 그래프와 테이블 출력을 위해 내부의 3개 포인트에 대해서 계산을 하게 됩니다.
반면에, 시간이력해석에서는 양 단부 절점에서의 부재력 외에 요소 내부의 부재력 분포를 위해서 Fixed end force에 대한 계산을 하지 않습니다. 이유는 시간이력해석의 경우 하중이 분포하중이 아니라 주로 절점 관성력으로 작용하는 것도 있지만, 매 스텝마다 내부 부재력 분포를 계산하는 것은 계산량이 급격히 증가하게 되어 효율적인 측면에서 적합하지 않기 때문입니다. 그래서 beam load의 분포를 고려하지 않고 절점에 작용하는 등가의 절점하중만 반영되어서 다음과 같이 계산됩니다.
위의 그림에서 오른쪽은 보의 분포하중대신 등가의 절점하중을 절점에 재하하여 시간이력해석을 한 것입니다. 두 모델의 결과가 동일하게 출력되고 있음을 확인할 수 있습니다.
[참고]
시간이력해석 옵션 중에서 Static해석의 부재력만 import하여 연속해석을 하는 옵션이 있습니다.
Static결과에서 부재력을 import해 오는 경우에는 아래 그림과 같이 양단부에서의 모멘트값을 가져와서 해석에 적용하게 됩니다.
단, 이 옵션은 Static 해석케이스에서 부재력 결과는 가져오지만, 변위 결과는 가져오지 않기 때문에 사용시 주의가 필요합니다. General Link요소나 힌지가 할당된 비선형요소가 들어 있는 경우에는 초기 내력에 대응하는 변위가 없으면 force-deformation 관계를 찾을 수 없는 경우가 발생합니다.