질문
CQC3 Direction Combination의 이론적 배경과 RX와 RY의 SRSS조합과는 어떻게 다른지 궁금합니다.
답변
지진응답의 직교효과
곡선교량이나 아치형 댐의 경우 지진작용 방향에 따라 각 지점에서의 응답의 최대 크기는 달라질 수 있으므로, 평가 대상 요소별로 불리한 방향에 대한 응답을 찾는 것이 필요합니다. 그러나 모든 각도에 대해 해석을 하고 조합하는 것은 많은 시간이 걸리고 결과 분석에도 많은 노력이 필요하므로 효율적이지는 않은 방법이라고 할 수 있습니다.
지진에 의한 구조물의 응답은 다음과 같이 가정하는 것이 합리적일 수 있습니다. 지진이 작용하는 방향 중에서 구조물에 가장 큰 영향을 주는 방향이 있다고 가정합니다. 그리고 지진동의 방향으로 구조물이 진동한다고 가정합니다. 그런데 대부분의 구조물에서는 가장 불리한 방향을 미리 알 수는 없습니다. 일반적으로 내진 설계 기준에서는 구조물이 가능한 모든 방향에서 발생하는 주어진 규모의 지진에 견딜 수 있어야 하는 것으로 정의하고 있습니다.
위의 그림처럼 임의 각도로 작용하는 지진응답
, 그리고
으로 지진이 작용할 때의 응답
를 가정했을 때, 두 축사이의 임의 방향으로 지진이 작용하게 되면 축 회전에 의한 삼각함수를 적용하여 두 성분의 조합으로 표현될 수 있습니다. 하지만, 두 성분을 조합한 결과가 최대가 될 수 있는 방향에 대해서는 모든 각도에 대해 평가를 해 보아야만 알 수 있습니다. 일부 설계기준에서는 100:30이나 100:40과 같이 직교 응답의 결과에 대해 조합을 하여 안전성을 평가하도록 제안하고 있습니다.
여기서, 입니다.
Menun과 Der Kiureghian는 임의 방향으로 작용하는 지진 응답에 대해 직교성을 고려한 CQC3 조합 수식을 아래와 같이 제안하였습니다.
여기서,
은 X방향 응답의 n번째 모드응답이고,
은 Y방향 응답의 m번째 모드응답입니다.
인 경우에는 아래와 같이 3방향 지진응답에 대한 SRSS 조합과 동일하게 됩니다.
수평방향 지진응답의 직교효과를 위한 CQC3 Direction Combination
앞서 살펴본 수식에서 인 경우에는 각각 직교하는 개별 지진응답 결과를 SRSS 조합과 것과동일하게 되며, 이것은 지진 작용 방향을 고려하지 않고 X, Y, Z 방향으로 작용하는 지진 응답의 100%가 동시에 작용하는 것으로 가정하기 때문에 매우 보수적인 평가가 됩니다. 하지만 현실적으로는 일어날 확률이 거의 없기 때문에 지나치게 보수적인 설계가 될 수 있습니다. 따라서 Menun과 Der Kiureghian의 식을 미분한 값이 0이 되는 것을 만족하는
를 구하여 주어진 식에 대입을 하면 가장 불리한 방향에 대한 조합된 지진응답을 계산할 수 있습니다.
위의 식을 만족하는 일반해는 , (
)이며, 직교하는 두 축은
,
으로 정의할 수 있습니다. 따라서 아래 식에
,
을 대입하여 계산된 값 중에서 큰 값을 선택함으로써 합리적인 지진응답을 산정할 수 있을 것입니다.
따라서, Z방향 지진응답을 제외하고, 수평방향 지진응답의 직교효과를 고려한 응답은, 아래와 같이 산정할 수 있습니다.
한편, 에 대해 통상적으로 제안된 값은 없지만 100:30룰을 적용한다면
을 사용하면 됩니다.
[Reference]
Menun, C., and A. Der Kiureghian. 1998. “A Replacement for the 30 % Rule for Multicomponent Excitation,” Earthquake Spectra. Vol. 13, Number 1. February.
Anil K. Chopra, “Dynamics of Structures – Theory and Applications to Earthquake Engineering”, Fourth Edition, Prentice Hall, 2012.