Inelastic Material Properties

Modified Kent & Park Concrete 모델로서 횡구속 철근의 구속효과(Confinement Effect) 등을 고려할 수 있습니다.

Kent and Park(1973)의 기본 모델을 Scott et al.(1982) 등이 수정한 모델로서 구성의 명료함과 해석의 정확성을 충분히 갖춘 모델로 평가 받고 있습니다.

: 콘크리트의 압축강도

: 구속효과에 의해 압축강도의 증가효과를 표현하는 계수

: 스트럽으로 싸인 콘크리트의 부피에 대한 띠철근의 부피비, : 스트럽철근의 항복강도

: 압축 Crushing 발생시의 변형률

: 최대 압축강도 발현시의 변형률

Z : 압축항복이후 콘크리트의 연화구간의 강성을 나타내기 위한 계수

( : 스트럽으로 쌓인 콘크리트의 단변길이)

(S h : 스터럽 또는 후프 세트의 중심 간격)

 아래에 제시된 Scott et al. 이 제안한 식이 있다. 그러나 이 식은 보수적으로 판단한 값이므로 사용자가 적절히 판단하여 임의의 값을 입력하여도 무방하다.

본 모델에서는 부재 전반에 걸친 그 영향이 적기 때문에 콘크리트의 인장강도는 무시하고 있습니다.

본 모델의 이력 특성을 자세히 정리해 보면 다음과 같습니다.

a. 압축상태에서 unloading이 발생한 경우 unloading이 발생하기 시작한 변형률 과 변형률 축상의 한 점 를 잇는 직선상에서 거동을 한다고 봅니다. 이 직선의 기울기는 압축정도가 심해질수록 작아지며 그 구현 식은 아래와 같습니다.

b. 본 모델에서는 인장강도를 무시하고 있기 때문에, 완전제하(Complete Unloading or Open Crack) 상태에서는 응력을 ‘0’ 으로 봅니다.(위 그림 참조)

c. 재재하(reloading) 상태에서는 εp에 도달하기 이전까지는 응력을 ‘0’으로 봅니다. 일단 εp보다 큰 압축 변형률이 발생하면 앞서 unloading시의 직선상으로 재재하가 진행된다고 봅니다. 실제적으로는 이렇게 직선상으로 제하(Unloading)과 재재하(Reloading)가 발생하지 않고 비선형적인 괘적을 따라 거동합니다. 그러나 그러한 비선형적 거동의 영향이 크지 않을 뿐만 아니라, 해석상의 효율성과 정확성을 고려할 때 본 모델과 같이 직선 괘적을 따라 제하(Unloading)와 재재하(Reloading)가 발생한다고 보는 것도 충분하다고 알려져 있습니다.

압축강도를 초과한 이후 연화구간에서의 강성으로 실제 이력의 기울기인 E=K fc Z 를 사용하는 방식도 있지만, 이 값은 음수이기 때문에 극한상태에서 수렴 효율성을 떨어뜨릴수 있습니다. 따라서 E=1.d-15 으로 설정되어 있습니다.

일본 콘크리트 표준시방서 [내진성능 대조조사편, p23]의 모델로서 최대 응력점을 넘은 연화영역과 잔류소성변형, 제하재재하시의 강성저하효과를 반영하고 있습니다. 

f_c' : 콘크리트의 최대압축강도

ε_peak' : 최대압축강도 발현시의 변형률

본 이력 모델의 Stress-Strain 관계는 다음과 같습니다.

여기서,

본 모델에서 K는 탄성 강성 잔존율을 의미합니다. 압축 변형률이 커질수록 제하(unloading)시의 기울기가 감소하게 되는 현상을 모사하기 위한  값입니다.

일반적인 보 부재의 경우 인장강도는 무시하도록 제안하고 있습니다. 상기 이력 규칙에 의한 거동특성을 나타내 보면 아래 그림과 같습니다.

참고적으로 일본 콘크리트 표준시방서에 의한 콘크리트 모델을 사용하여 구조물의 극한 거동을 평가할 때 상기 강성 저감률 값을 기준으로 상태를 조사하는 방식이 있습니다.

압축 변형률이 커질수록 재하시 강성 저감률이 작아지는 것을 확인하여 부재의 파괴 정도를 판단하는 기준입니다. 현재 MIDAS 프로그램 에서는 이 기준에 근거한 조사 방식도 구현하고 있습니다.

(Section Damage Check with Fiber Element 기능 참조)

일본 도로교시방서. 동해설, V 내진설계편 [철근구속콘크리트, p.161]의 모델입니다.

지진동(地震動) 종류에 따라 응력-변형률 관계가 변경됩니다. 본 모델은 지진동과 구속철근에 의한 영향, 단면 형상 등의 영향을 고루 반영하고 있습니다.

Type I 선택시                                                           Type II 선택시

 : 극한 변형률과 최대 압축강도시의 변형률이 같게 되어 하강구배(Edes) 구간을 갖지 않습니다. 즉 압축변형률이 최대 압축강도에 도달하게 되면 즉시 Crushing이 발생한다고 봅니다.

 : 극한 변형률을 시방규정식에 의해 산정하며, 하강구배(Edes) 구간을 갖게 됩니다.

: 콘크리트 Young's Modulus

: 콘크리트의 설계기준강도

 : 횡구속 철근의 항복점

 : 단면 보정 계수 

원형단면의 경우에는 α=1.0, β=1.0 사다리꼴단면, 중공 원형단면 및 중공 사다리꼴단면에서는 α=0.2, β=0.4

: 횡구속 철근 한개 당의 단면적

: 횡구속의 간격

: 횡구속의 구속장으로, 띠철근이나 중간 띠철근에 의해 분할구속된 내부 콘크리트의 변 길이 중 가장 긴 값으로 한다.

: 콘크리트의 인장강도

: 횡구속 철근으로 구속된 콘크리트의 강도

한편 횡구속 철근의 체적비를 의미하는 Ρs 는 0.018 이하가 되도록 기준에서 제시하고 있습니다.

본 모델의 Stress-Strain 관계는 다음과 같습니다.

여기서,

제하(Unloading)와 재재하(Reloading)의 경우에는 탄성 강성으로 거동한다고 봅니다. (아래 그림 참조)

압축강도를 초과한 이후 하강구간에서의 강성으로 실제 이력의 기울기인 E=-Edes 를 사용하는 방식이 있습니다. 그러나 이 값은 음수여서 극한상태에서 수렴 효율성을 떨어뜨릴수 있기 때문에 E=1.d-15 으로 설정되었습니다.

나고야 고속공사(명고사, 名高社)의 모델로서 [콘크리트를 부분적으로 충전한 강성 교각의 내진성능 대조조사요량(안) p.7]의 모델입니다.

: 콘크리트의 압축강도

 : 콘크리트의 압축강도 도달시의 변형률

: 압축강도 증가를 반영하기 위한 계수

: 콘크리트의 극한 압축 변형률

: 콘크리트의 최대 인장강도 발현시의 변형률

: 콘크리트의 인장파괴 발생시의 변형률

: 콘크리트의 극한 인장 변형률

본 모델에서는 그림에 나타난 바와 같이 압축변형률이 극한 압축 변형률 에 도달할 때 까지는 일정한 최대 응력을 보이다가 변형률이 εcu을 초과 하게 되면 Crushing이 발생한다고 봅니다.

한편 제하(Unloading) 재재하(Reloading) 시에는 탄성 강성으로 거동한다고 봅니다. 실제 시방 규정에서는 인장강도에 대한 제안이 없으나 범용성을 갖추기 위해 사용자의 판단에 따라 적절한 인장강도를 입력할 수 있도록 구현되어 있습니다. (아래 그림 참조)

인장강도를 초과한 이후 하강구간에서의 강성으로 실제 이력의 기울기를 사용하는 방식이 있습니다. 그러나 이 값은 음수여서 극한상태에서 수렴 효율성을 떨어뜨릴수 있기 때문에 E=1.d-15 으로 설정되었습니다.

인장부와 압축부 모두를 정의할 수 있는 모델이며, 압축부는 3선형 이력을 가집니다. 3선형 이력을 정의하기 위해 응력-변형률로 입력하는 방식과 응력-강성 저감률로 입력하는 방식 두가지 형식이 있습니다.

    응력-변형률 정의방식                                         응력-강성저감률 정의방식

: 콘크리트의 1차 압축항복 강도

: 콘크리트의 2차 압축항복 강도

: 콘크리트의 2차 압축항복이후의 강도 (K3 산정시 필요)

: 콘크리트의 최대 인장강도 발현시의 변형률

: 콘크리트의 인장파괴 발생시의 변형률

: 콘크리트의 극한 인장 변형률

: 콘크리트의 1차 압축항복 변형률

: 콘크리트의 2차 압축항복 변형률

: 콘크리트의 2차 압축항복이후의 변형률 (K3 산정시 필요)

: 콘크리트의 3차 압축항복 변형률

: 콘크리트의 초기강성

: 콘크리트의 1차항복후의 강성과 초기강성의 비

: 콘코리트의 2차항복후의 강성과 초기강성의 비

인장강도를 초과한 이후 하강구간에서의 강성으로 실제 이력의 기울기를 사용하는 방식이 있습니다. 그러나 이 값은 음수여서 극한상태에서 수렴 효율성을 떨어뜨릴수 있기 때문에 E=1.d-15 으로 설정하였습니다.

'σ - ε' 입력방식으로 ε_c1~ε_c3를 입력한 상태에서, 'σ - α' 입력방식을 선택하면 자동으로 강성 K1, K2/K1, K3/K1들을 계산해 줍니다. 그 역 또한 자동으로 계산됩니다

특징

횡구속철근에 의해 구속된 압축콘크리트에 대해 Mander(1988) 가 제안한 모델입니다. 횡구속철근은 콘크리트의 구속효과 뿐만 아니라, 주근의 좌굴을 방지하고 전단파괴를 방지하는 역할을 합니다. 횡구속철근에 의해 구속된 압축콘크리트는 횡구속 효과에 의해서 강도와 연성을 크게 증가시키는 효과가 있습니다.

Mander모델은 구속된 압축콘크리트의 응력도-변형도 관계를 제안한 모델로, 콘크리트의 단면형상에 관계없이 적용할 수 있는 장점이 있습니다. 또한, 종방향 철근 및 구속철근의 양, 구속철근의 항복강도와 배근형태 등을 고려하여 콘크리트의 구속력인 유효구속응력을 산정할 수 있습니다.

Mander모델은 Popovic(1973)이 제안한 1축 응력도-변형도 관계를 사용하고 있지만, 다축의 효과를 고려한 유효구속력을 등가의 1축 응력-변형률 관계로 환원하는 기법을 취하고 있습니다.

제한사항

Mander Model은 콘크리트의 단면형상에 관계없이 적용가능합니다. 단, Material Data과 Section Data의 Import에 의한 강도자동산정은 원형, 사각형 단면만 지원하며, 원형, 사각형 단면 이외의 단면에 대해서는 강도자동계산에 필요한 정보를 사용자가 입력하면 자동계산에 의한 강도를 얻을 수 있습니다.

Concrete Type

Unconfined Concrete : Cover 콘크리트를 정의할 때 사용합니다. 단면의 횡구속 효과를 고려하지 않으며, 횡구속에 관련된 사항들은 비활성화 됩니다.

Confined Concrete : 횡구속철근에 의해 구속된 Core콘크리트를 정의할 때 사용합니다. 단면의 횡구속 효과를 고려합니다.

Unconfined Concrete Data

Section & Confinement Rebar Type : Confined Concrete 로 정의한 경우 활성화 되고 단면과 횡구속철근의 형상을 정의합니다. 단면 형상정보에 따라 아래의 유효구속계수(Confinement Effective Coefficient, Ke)나 유효횡방향구속응력 (fl, flx, fly)의 값이 자동계산이 되고 직접 입력할 수도 있습니다.

: 구속되지 않은 콘크리트의 압축강도를 입력합니다. 직접 입력할 경우에는 체크버튼을 선택하여 입력합니다.

: fco'에 대응하는 콘크리트의 변형율을 입력합니다. 직접입력할 경우에는 체크버튼을 선택하여 입력합니다.

: 콘크리트의 탄성계수를 입력합니다. Mander 모델의 경우는 내부적으로 계산이 되고 User input의 경우에는 직접 고려할 수 있습니다.

: 콘크리트의 인장강도를 입력합니다. 인장강도를 직접 입력하거나 (User input) 무시 (Neglect Tensile strength) 할 수 있습니다.

: 인장강도에 따라 자동계산됩니다.

Section Data : 구속단면의 크기와 횡구속철근의 간격 등을 입력합니다.

Rebar Data : 단면의 주철근과 횡방향 구속철근의 철근면적에 필요한 정보를 입력합니다.

Confinement Effective Coefficient, Ke : 단면형상, 종방향 철근 및 구속철근의 양, 배근형태 등을 고려하여 선정한 콘크리트의 유효구속계수

The Effective Lateral Confining Stress on the Concrete

flx : x방향의 유효구속응력

fly : y방향의 유효구속응력

fl : 다축의 유효구속응력을 1축으로 환원한 유효구속응력

Confined Concrete Strength & Strain : 횡구속효과를 고려한 압축콘크리트 강도와 변형률

Menegotto and Pinto의 Steel모델을 Filippou등이 수정한 모델로서 해석 효율성도 뛰어나며 실험적 거동과도 높은 정확성을 가지는 모델로 알려져 있습니다.

 : 철근의 항복강도

 : 철근의 초기강성

 : 항복 후 철근의 강성과 초기강성의 비

 : 항복 후 철근의 응력-변형률 곡선거동형태를 정의하는 상수

본 모델의 자세한 Stress-Strain 이력모델에 대한 설명은 다음과 같습니다.

  ,   

위 관계식을 통해 항복이후의 이력거동에서 탄성과 항복구간을 전이할 때 곡선형태를 구현하고 있습니다.

여기서 σ'와 ε' 는 정규화(Normalized)된 값들이며 각각 다음의 수식을 통해 계산됩니다.

본 모델은 아래 그림에서와 같이 두 개의 점근선을 가지게 됩니다. 하나는 탄성강성을 기울기로 가지는 직선이고 다른 하나는 항복이후강성을 가지는 직선입니다.두 직선의 교점을 의미하는 것이 (ε0,σ0) 입니다. (εr,σr)은 마지막으로 제하(Unloading)이 발생했을 때의 위치를 의미합니다. 이 값들은 제하, 재재하시 계속해서 갱신되어 전이곡선형성에 영향을 줍니다.

R은 전이곡선의 모양에 영향을 주는 값이며 Bauschinger effect를 반영하는 역할을 합니다. R값의 결정을 위해 다음의 식이 제안되어 있습니다.

계수 a1,a2,R0는 실험으로부터 얻은 이력 결과에서 구하며 MIDAS에서는 원문헌(Menegotto and Pinto,1973)에서 사용된 값인 18.5, 0.15, 20 을 각각의 기본 값으로 사용하고 있습니다.

ξ는 정규화된 변형률 축상에서 두 점근선과 제하 발생 위치사이의 거리를 의미하는 값으로서 제하(Unloading) 발생시마다 새롭게 갱신되는 값입니다.

일반적인 대칭 이선형(Bilinear) 철근 모델입니다.

: 철근의 항복강도

: 철근의 초기강성

: 항복 후 철근의 강성과 초기 강성의 비

아래 그림에서와 같이 항복 이후 제하(Unloading), 재재하(Reloading)시에는 탄성강성으로 거동하도록 구현되어 있습니다.

일반적인 이선형 철근 모델을 심화한 모델로서 항복 후 철근의 강성을 임의로 정의할 수 있으며, 철근의 좌굴과 파단 등을 고려할 수 있습니다.

: 인장측 항복강도

: 압축측 항복강도

: 철근의 압축 좌굴 발생시의 변형률

: 인장 항복후 철근 파단 발생시의 변형률

: 철근의 초기강성

 : 인장항복후 철근의 강성

 : 재하시 철근의 항복 이후 강성

 : 압축 항복 이후 철근의 강성 (음수값을 지정하면 마이너스 구배를 고려할 수 있습니다.)

 : 압축항복이 발생한 철근의 좌굴 이후의 강성

본 모델은 철근의 압축-인장항복, 인장 파단, 압축 좌굴 등 다양한 상태까지 모사할 수 있는 모델입니다. 발생 가능한  이력 상태를 아래 그림에 나타내었습니다.

각 State 에 대한 자세한 설명은 다음과 같습니다.

인장거동이 주요한 철근 이력이므로 하중 재하 방향은 인장을 기본으로 고려합니다. 따라서 아래에서 제하(Unloading)는 인장상태에서 압축상태로 하중방향이 바뀐 것을 의미하며, 재재하(Reloading)은 압축 상태에서 인장상태로 하중방향이 진행되는 것을 의미합니다.

State 1 : 탄성거동 상태로서 E1을 기울기로 탄성거동을 합니다.

1 → 2 = 항복상태로 전이 되는 것을 의미하며 인장 항복시에는 E2의 기울기로, 압축 항복시에는 E4의 기울기로 거동합니다.

State 2 : 항복이후 상태로서 E2를 기울기로 거동합니다.

2 → 4 = 항복이후에 제하(Unloading) 또는 재재하 (Reloading) 되는 상태를 의미합니다.

2 → 8 = 항복이후에 인장이 지속되어 인장 파단이 일어난 상태를 의미합니다. 파단이 일어난 뒤에는 응력이 무조건 ‘0’으로 계산됩니다.

State 3 : 제하가 계속 되어 압축부에서도 항복이 발생한 상태를 의미합니다. 기울기 E2로 거동하며, E3직선과 변형률 축과의 교점이 ε2보다 크도록 E3를 입력합니다.

3 → 4 = 재재하(Reloading)가 일어나는 상태를 의미하며 E1 을 기울기로 거동하게 됩니다.

3 → 5 = 제하(Unloading)가 계속되고 압축변형이 ε1을 초과하여 압축 좌굴이 시작되는 것을 의미합니다. E5의 기울기로 거동하게 됩니다.

State 4 : 제하, 재재하시에 탄성강성E1를 기울기로 거동하는 상태를 의미합니다. 이 상태에서의 제하, 재재하는 E1의 기울기로 진행됩니다.

4 → 2 = 재재하가 진행되어 인장항복상태로 넘어가는 과정을 의미합니다. 또는 제하가 진행되어 압축항복상태로 넘어가는 과정을 의미합니다.

4 → 3 = 제하가 진행되어 압축 항복이 발생한 상태를 의미합니다. E3가 E2와 다른 경우에도 상기 그림에 나타낸 바와 같이 E3 직선과 만나면 압축항복이 발생했다고 판단합니다.

4 → 5 = 제하가 진행되어 압축좌굴 상태로 접어드는 과정을 의미합니다.

State 5 : 압축변형률이 좌굴 발생 변형률을 초과하여 철근의 좌굴이 발생한 상태를 의미합니다. 기울기 E5 로 거동하게 됩니다.

5 → 4 = 압축좌굴 도중에 재재하가 진행되는 상태를 의미합니다.

5 → 7 = 압축이 계속되어 철근이 완전히 압축좌굴된 상태를 의미합니다. State 7이후에는 압축하중하에서는 응력이 '0' 으로 됩니다.

State 6 : 압축좌굴 이후에 재재하되는 상태를 의미합니다. 이때 인장측 항복이 발생하기 이전이면 σy을 향해서 재재하가 진행됩니다.

인장측 항복이 발생한 이후라면 인장측 최대점을 향해 재재하가 진행되도록 합니다.

6 → 2 = 재재하가 진행되어 인장항복이 발생한 상태를 의미합니다.

6 →-1 = 재재하가 진행되다가 제하가 발생한 상태를 의미합니다.

State 7 : 완전한 압축좌굴이 발생한 상태를 의미하며 더 이상 압축응력을 발생시키지 못하는 상태입니다. 압축응력은 ’0’이 되지만 인장력에는 저항할 수 있습니다.

7 → 6 = 재재하가 발생하여 인장최대점을 향해 진행되는 상태를 의미합니다.

State 8 : 인장 파단이 발생하여 더 이상 인장응력을 발생시키지 못하는 상태를 의미합니다. 인장파단이 발생하면 더 이상 인장, 압축 어떤 응력도 발생시키지 못한다고 봅니다.

State -1: 압축좌굴이후의 재재하 과정(state6)에서 제하가 발생한 상태를 의미합니다. 탄성강성 E1으로 거동하게 됩니다.

-1 → 6 : 재재하가 발생하여 다시 인장최대점을 향해 진행되는 상태를 의미합니다.

-1 → 7 : 제하가 진행되어 완전 압축좌굴상태로 전이되는 상태를 의미합니다.

이상과 같이 다양항 상태와 전이를 고려한 모델이므로 사용자의 충분한 이해가 바탕되고 실험적 수치들을 적절히 사용한다면 뛰어난 활용능력을 가지는 모델이 될 것입니다. 그러나 인장파단과 압축 좌굴 이후와 같은 극한 상태에서는 저항응력이 전혀 없이 ‘0’이 되기 때문에 주의가 필요합니다.

세 개의 기울기를 가진 Trilinear 모델입니다.

이력입력 방식의 편이성을 위해 이력 입력을 Stress-Strain의 좌표들로 입력하는 방식과 강성의 저감률로 입력하는 방식의 두 가지를 구현하고 있습니다.

제하, 재재하시 탄성강성을 기본으로 거동하게 됩니다.

  응력-변형률 정의방식                                        응력-강성저감률 정의방식

: 인장측 1차 항복강도

: 인장측 2차 항복강도

: 인장측 2차 항복후 강도 (K3 산정시 필요)

: 압축측 1차 항복강도

: 압축측 2차 항복강도

: 압축측 2차 항복후 강도 (K5 산정시 필요)

: 인장측 1차 항복 변형률

: 인장측 2차 항복 변형률

: 인장측 2차 항복후 변형률 (K3 산정시 필요)

: 압축측 1차 항복 변형률

: 압축측 2차 항복 변형률

: 압축측 2차 항복후 변형률 (K5 산정시 필요)

: 철근의 초기강성

: 1차 인장 항복후 철근의 강성과 초기강성의 비

: 2차 인장 항복후 철근의 강성과 초기강성의 비

: 1차 압축 항복후 철근의 강성과 초기강성의 비

: 2차 압축 항복후 철근의 강성과 초기강성의 비

'σ - ε' 입력 방법에서 ε1y~ε'3y 값이 입력되고 'σ - α' 입력 방법이 선택되면, K1, K2/K1, K3/K1 등이 자동으로 계산됩니다. 또한, 역 계산도 자동으로 수행됩니다.

Kent & Park(1973)에 의해 수행된 반복하중을 받는 연강의 실험을 통하여 제안된 모델입니다. 본 모델은 연강의 탄성구간, 소성구간과 변형도-경화(Strain Hardening) 구간의 모사가 가능하며, Ramberg-Osgood 식에 의해Bauschinger Effect를 정밀하게 나타내어 실험적 결과와 높은 일치성을 보이는 모델입니다.

: 강 섬유의 항복응력도

: 강 섬유의 극한응력도

: 강 섬유의 초기강성(탄성계수)

: 강 섬유의 항복 변형도

: 강 섬유의 변형도-경화시작시의 변형도

: 강 섬유의 종국변형도(파단시)

Case1 : 재하시의 거동

재하시의 거동은 다음과 같이 구분됩니다. 재하시의 변형도-경화구간에서의 응력-변형도 관계는 Thompson & Park(1980)이 제안한 식을 적용합니다.

Stress-Strain curve for steel with loading of the same sign

 : 강 섬유의 변형도

: 강 섬유의 응력도

: 강 섬유의 항복응력도

: 강 섬유의 극한응력도

: 강 섬유의 초기강성(탄성계수)

: 강 섬유의 항복 변형도

: 강 섬유의 변형도-경화시작시의 변형도

: 강 섬유의 종국변형도(파단시)

Case 2 : 제하 및 재 재하시의 거동

제하시 및 재재하시의 거동은 Ramberg-Osgood 관계에 의해서 정의되며, Newton’s Method에 의한 반복계산을 통하여 응력을 구합니다.

Stress-Strain curves for steel with reversed loading

: Ramberg-Osgood 함수의 특성응력도

: 이전 재하시의 소성변형도 (0 < < 0.7097)

: Ramberg-Osgood Parameter

: Loading Run Number (단, 압축측인 경우 1, 인장측인 경우 2의 고정값 사용)

: 재하시점에서 응력 0에 대한 변형도