질문
아래 그림처럼 강제변위가 포함된 하중케이스를 초기하중으로 선택하고, 강제변위가 정의된 절점에 대해 변위증분으로 Pushover해석을 진행하면, Pushover해석결과에서 강제변위가 정의된 절점에서 과다한 반력이 출력됩니다. 이유가 무엇인가요?
답변
패널티스프링(Penalty Spring)이라는 가상의 스프링에 의한 강제변위하중(지점침하해석) 해석은 어떤 것인가요?
어떤 정적하중을 받고 있는 구조물의 변위를 구하기 위해서, 아래와 같이 강성행렬와 외부하중 벡터
, 그리고 구하고자 하는 변위벡터
의 관계로 이루어진 행렬연산을 합니다.
강제변위하중의 경우에는 하중벡터 대신 미지수에 해당되는 특정 절점의 변위가 입력되는 것이라서 기존 행렬연산알고리즘을 적용하기 곤란하기 때문에 특별한 처리를 하게 됩니다. 그러한 방법으로 패널티스프링이라는 것을 도입하고 있습니다. 이것은 강제변위를 고려하는 절점에 큰 강성을 가지는 가상의 스프링을 추가하는 방법입니다. 패널티스프링 강성의 크기는 대략 구조물의 강성행렬에서 주대각항의 최대값에 10^5(또는 10^6)을 곱한 값을 가지게 됩니다. 그리고 이 패널티스프링의 강성에 고려하려는 강제변위를 곱하여 계산되는 스프링내력 즉 가 바로 강제변위를 구현하기 위해 사용되는 절점하중이 됩니다. 패널티스프링이 연결된 절점에
를 작용시키면 원하는 강제변위
에 가까운 변형
을 유도하는 방법입니다.
위의 그림은 간단한 강제변위하중에 대해 패널티스프링으로 어떻게 해석을 하는지 개념적으로 표현한 그림과 수식입니다. 반력의 경우에는 실제 발생한 변위에 패널티스프링의 강성을 곱한 값과 실제 작용한 하중을 제거함으로써 계산할 수 있습니다.
DL하중케이스에 대한 반력을 확인해 보면, 강제변위에 의해 발생하는 절점 반력은 1.033tonf이고, 반력의 합은 X방향으로 0이 되는 것을 확인할 수 있습니다.
위의 그림에서 확인된 강제변위절점에서의 반력 1.033tonf를 절점하중으로 하는 DL2하중케이스를 추가하여 해석해 보면 다음과 같은 결과를 확인할 수 있습니다.
DL해석케이스에서 강제변위 0.001m로 정의했던 절점에서의 변위가 DL2에서 0.001m로 변형이 되는 것을 확인할 수 있고, 1번, 4번 절점에서의 반력이 거의 동일함을 확인할 수 있습니다.
따라서 패널티스프링에 의한 반력은 합리적으로 산정된 것으로 판단할 수 있습니다.
그럼 Pushover해석에서는 반력이 왜 크게 나오게 되나요?
Pushover해석에서 initial load로 강제변위하중케이스가 있는 DL하중케이스를 적용하기 때문에 패널티스프링이 계속해서 해석에 반영됩니다. 초기하중케이스에서 발생한 변위와 패널티하중
과 함께 강제변위에 의해 추가로 발생한 변위
에 의한 반력
를 모두 고려하게 되면 아래와 같이 계산됩니다.
패널티스프링이 여전히 남아서 작용하기 때문에 의 반력이 추가되어 큰 반력이 계산되게 됩니다. 100스텝으로 변위 증분을 하였기 때문에 2번 절점에 작용하는
m가 되므로 패널티스프링의 강성을 고려하면 매우 큰 값이 계산됨을 확인할 수 있습니다.
만약 2번 절점을 기준으로 변위증분을 하지 않고 3번 절점을 기준으로 변위증분을 하게되면 아래와 같은 결과를 얻게 됩니다.
PO해석 1번째 스텝에서 3번 절점에 0.001m의 변위를 컨트롤하면 2번 절점에서는 패널티스프링이 붙잡고 있기 때문에 변형이 많이 발생하지 않고, 반력의 크기도 급격히 줄어들었음을 확인할 수 있습니다.