질문
Ritz Vector방법으로 고유치해석을 할 때, 하중케이스 선택은 어떻게 하는 것이 좋을까요?
답변
아래와 같은 교량의 고유치해석에 대해 Ritz vector방법으로 고유치해석을 하였을 경우와 Lanczos방법으로 고유치해석을 하였을 경우의 결과 비교를 통해 알아보도록 하겠습니다.
정적 하중케이스는 (1) Dead Load(Selfweight), (2) Slab & Cross(FZ방향 절점하중 & Beam Load), (3) Pressure Load, (4)FX방향 절점하중, (5) FY방향 절점하중이 정의되어 있습니다.
Ritz vector방법의 장점은 하중벡터를 이용하여 생성된 Ritz vector를 사용하여 고유치해석을 함으로써 적은 모드로 동적해석을 효과적으로 수행하는 것입니다. 특히 비슷한 주기를 많이 가지고 있는 구조물에서 효과적인 방법입니다. Ritz vector방법에 의하면 모드참여질량이 미소한 모드들은 제외되고 응답에 영향을 줄 수 있는 모드들만 얻을 수 있는 것이 장점이라 할 수 있습니다. 그러나 이를 위해서는 고유치해석에 사용되는 하중벡터가 구하고자 하는 구조물의 진동특성을 잘 모사할 수 있도록 설정되어 있어야 합니다. 즉 하중벡터를 잘 못 선택하게 되면 응답에 필요한 모드들을 제대로 구하지 못하는 것이 Ritz vector방법의 단점이라고 할 수 있습니다.
- Ritz Vector의 Generation을 위한 하중케이스 선택
아래 그림을 보시면, Ritz vector를 생성하기 위하여 선택된 하중케이스는 모두 7개의 케이스가 선택되었고, 19개의 Ritz vector를 생성하여 고유치해석에 사용되도록 설정하였습니다.
- FX 하중케이스로 3개의 Ritz vector를 생성
- FY 하중케이스로 3개의 Ritz vector를 생성
- Dead Load케이스로 2개의 Ritz vector를 생성
- Slab & Cross케이스로 2개의 Ritz vector를 생성
- Acc. X 로 3개의 Ritz vector를 생성
- Acc. Y 로 3개의 Ritz vector를 생성
- Acc. Z 로 3개의 Ritz vector를 생성
비교 대상으로 Lanczos법으로 해석을 한 경우에는 100차 모드까지 구하도록 설정하였습니다.
- 고유치 해석 결과 비교
[Lanczos방법에 의한 고유치 결과]
[Ritz vector방법에 의한 고유치 결과]
유사한 주기끼리 모드번호를 비교해 보면 아래와 같이 정리할 수 있습니다. 모드형상은 서로 다를 수 있습니다.
| Ritz vector | Lanczos | ||
| Mode | Period | Mode | Period |
| 1 | 1.27976 | 1 | 1.27976 |
| 2 | 1.263754 | 2 | 1.263754 |
| 3 | 1.082237 | 3 | 1.127848 |
| 4 | 0.307866 | 4 | 0.308303 |
| 5 | 0.241874 | 6 | 0.270509 |
| 6 | 0.240483 | 7 | 0.242833 |
| 7 | 0.20306 | 8 | 0.211961 |
| 8 | 0.178205 | 9 | 0.204321 |
| 9 | 0.167666 | 11 | 0.178211 |
| 10 | 0.157659 | 13 | 0.160042 |
| 11 | 0.100024 | 14 | 0.131525 |
| 12 | 0.092821 | 15 | 0.111276 |
| 13 | 0.083318 | 20 | 0.088174 |
| 14 | 0.074059 | 25 | 0.082055 |
| 15 | 0.042599 | 32 | 0.069647 |
| 16 | 0.037973 | 65 | 0.047164 |
| 17 | 0.024838 | - | - |
| 18 | 0.018766 | - | - |
| 19 | 0.015132 | - | - |
[Lanczos방법에 의한 13차모드형상]
[Ritz vector방법에 의한 10차모드형상]
두 방법의 연직방향 진동모드를 살펴보면 Lanczos방법에서 13차 모드의 모드참여질량은 62.51%이고, Ritz vector방법에서는 64.37%정도의 차이를 보이고, 주기에서도 약 0.160초와 약 0.157초정도의 차이를 이고 있습니다.
[Lanczos방법에 의한 모드참여질량 결과]
[Ritz vector방법에 의한 모드참여질량 결과]
Lanczos방법에 의해 순차적으로 모든 모드들을 다 찾은 경우에는 고차모드로 갈수록 유사한 주기들의 모드들이 다수 있음을 알 수 있습니다. 특히 TRAN-Z방향으로는 100차모드까지 고려하더라도 모드참여질량의 누적값이 90%가 잘 되지 않습니다만, Ritz vector방법을 적용한 경우에는 19개의 모드만으로도 90%가 넘는 것을 확인할 수 있습니다. 이것은 연직방향 하중벡터가 정의된 Dead Load케이스와 Slab & Cross 케이스, 그리고 Acc. Z를 적용하여 생성된 Ritz vector로 구하였기 때문에 연직방향 모드들을 잘 찾아 낼 수 있었다고 판단할 수 있습니다.
만약 이 3가지 케이스를 사용하지 않고 수평방향으로 정의된 하중케이스만 사용해서 Ritz vector를 생성했다면 연직방향으로 응답에 영향을 주는 모드를 찾지 못할 수 있습니다.
수평방향 하중케이스와 Acc. X, Acc. Y만 고려한다면 아래와 같은 결과를 얻게 됩니다. 모드참여질량이 X, Y에서만 값을 가지게 되고, Z방향에 대한 모드참여질량은 0이 됩니다.
만약 RS해석에서 이렇게 구한 모드를 사용한다면, 수평방향 응답에만 관심일 있을 경우에는 효율적으로 계산된 결과를 기대할 수 있지만, 연직방향에 대한 RS응답은 오차를 포함한 결과가 될 수 있습니다.
따라서, Ritz vector방법으로 고유치해석을 하려고 한다면, (1) 구하려고 하는 구조물의 모드 형상을 예상하고, (2) 그 형상을 표현할 수 있는 하중성분이 있는 하중케이스를 선택하는 것을 추천합니다.