질문
모드벡터를 질량에 대해 정규화(normalization) 한다는 것은 어떤 의미인가요?
답변
고유치해석을 통해 얻어지는 모드벡터 또는 Eigenvector의 Normalization을 반드시 해야 할 필요는 없습니다. 어떤 하나의 모드벡터에서 일괄적으로 동일한 비율로 키우거나 줄여도 그 모드벡터의 특성이 달라지는 것은 없기 때문입니다. 즉 각 자유도 성분들 간의 상대적인 크기 비율이 해당 모드의 특징을 나타내는 것이기 때문에 모든 자유도 성분에 같은 값을 곱하거나 나누더라도 각 자유도 성분들 사이의 상대적인 비율은 유지되기 때문입니다.
그러면, 왜 정규화(normalization)을 하는 것일까요? 모드의 정규화 방법에는 각 모드에 대해 모드별 성분중에서 절대값이 제일 큰 값으로 모두 나누면 제일 큰 변형을 일으키는 지점은 1이되고 나머지는 상대적인 비율을 표시되기 때문에 모드의 형상을 직관적으로 이해할 수 있는 장점이 있습니다. 또 다른 방법으로는 모드의 직교성에 의해 주대각 성분()만 남게 되는데, 주대각 성분이
이 되도록 각 모드의 벡터들을 정규화 하는 방법이 있습니다. 이것이 질량에 대해 모드벡터를 정규화 하는 방법입니다. 이 방식은 전체 구조물의 질량 중에서 해당 모드에 어느 정도의 질량이 분배되고 있는지를 검토할 수 있는 장점이 있습니다. 예제를 통해 살펴보도록 하겠습니다.
아래와 같은 2개의 자유도를 가진 보로 구성된 캔틸레버 기둥이 있다고 가정해 보도록 하겠습니다. 질량은 X방향으로 집중질량으로 각각 10kN/g씩 정의되어 있습니다.
고유치해석 결과는 아래와 같습니다. 1차모드와 2차모드의 Eigenvector(모드벡터)는 질량에 대해 정규화된 상태입니다.
모드벡터들이 질량에 대해 정규화된 것이 맞는지, 각 모드의 질량 참여율의 계산과정에 대해 살펴보면 아래와 같습니다.
[1st mode]
:
M.P.M :
,
[2nd mode]
:
M.P.M :
,
위에서 알 수 있듯이 질량에 대해 정규화 한다는 것은 모드참여질량(M.P.M) 계산과정에서 분모에 해당하는 값을 1로 만들어 주는 효과가 있습니다. 이것은 모든 모드의 M.P.M을 모두 더하면 전체 구조물의 질량과 같아진다는 것이고, 모드의 M.P.M은 전체 구조물의 질량 중에서 각 모드에 분배되는 유효질량의 크기를 의미하게 됩니다.